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微分方程流偏导数一些基本定理
人造卫星飞行轨道用微分方程描述。 在卫星轨道改进过程中，需要计算轨道关于初值与参数的一些偏导数。 解关于初值和参数的连续依赖性这里不再介绍。主要针对其可微性做一些阐述，部分证明从略，详细的证明过程可以参看微分方程理论相关专著。
考虑微分方程组 \[{\dot x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n},{\mu ^1}, \cdots ,{\mu ^l}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 其中右函数与其偏导数一起，在变量空间 \( \tilde R\) 的某个开集\(\tilde \Gamma \)有定义且连续。 令 \[{\mathbf{\dot x}} = {\mathbf{f}}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)\] 为方程组的向量记法。则有如下定理。
定理1 方程 \[{\mathbf{\dot x}} = {\mathbf{f}}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)\] 当固定初值 \({t_0},{{\mathbf{x}}_0}\)时的不可延拓解 \[{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right) = \left( {{\varphi ^1}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right), \cdots ,{\varphi ^n}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)} \right)\] 在变量 \(t,{\mathbf{\mu }}\)的某个开集T上有定义且它自己所有变量的连续函数。与是，如果方程组的右端 对变量\({\mu ^1}, \cdots ,{\mu ^l}\)的偏导数在开集\(\tilde \Gamma \)中有定义且连续，那么偏导数 \[\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial {\mu ^k}}},i = 1, \cdots ,n,\quad k = 1, \cdots ,l\] 在整个开集T上有定义且连续。此外混合偏导数 \[\frac{{{\partial ^2}{\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial t\partial {\mu ^k}}},i = 1, \cdots ,n,\quad k = 1, \cdots ,l\] 也在整个开集T上有定义、连续且不依赖于求导的顺序。
证明略。
定理2 设 \[{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{t_0},{\mathbf{\xi }}} \right) = {\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right) = \left( {{\varphi ^1}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right), \cdots ,{\varphi ^n}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)} \right)\] 为原微分方程以 \({{t_0},{\mathbf{\xi }}}\)为初值的不可延拓解。函数\({\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)\) 在变量\(t,{\xi ^1}, \cdots ,{\xi ^n}\)空间中的某个开集S'上有定义且连续。于是，在整个集合在S'上偏导数 \[\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)}}{{\partial {\xi ^j}}},i,j = 1, \cdots ,n\] 存在且连续，此外，在整个集合上混合偏导数 \[\frac{{{\partial ^2}{\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)}}{{\partial t\partial {\xi ^j}}},i,j = 1, \cdots ,n\] 连续且与求导顺序无关。
证明略。
命题A 设 \({\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right) = \left( {{\varphi ^1}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right), \cdots ,{\varphi ^n}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)} \right)\) 是方程 \[{\mathbf{\dot x}} = {\mathbf{f}}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)\] 以\({t_0},{{\mathbf{x}}_0}\)为初始值的不可延拓解，并令 \({m_1} < t < {m_2}\)为当固定参数值 \({\mathbf{\mu }} = {{\mathbf{\mu }}^*}\)时的定义区间。 如果方程的偏导数 \(\frac{{\partial {f^i}}}{{\partial {\mu ^k}}}\)在区域 \({\tilde \Gamma }\)中连续，那么根据定理1，当 \({\mathbf{\mu }} = {{\mathbf{\mu }}^*}\) 时计算出的偏导数 \[\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{{\mathbf{\mu }}^*}} \right)}}{{\partial {\mu ^k}}} = \psi _k^i\left( t \right)\] 作为t的函数在整个区间\({m_1} < t < {m_2}\)上有定义，且连续。我们令 \[f_j^i\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right) = \frac{{\partial {f^i}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial {x^j}}}\] \[f_j^i\left( t \right) = f_j^i\left( {t,{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{{\mathbf{\mu }}^*}} \right),{{\mathbf{\mu }}^*}} \right)\] \[g_k^i\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right) = \frac{{\partial {f^i}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial {\mu ^j}}}\] \[g_j^i\left( t \right) = g_j^i\left( {t,{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{{\mathbf{\mu }}^*}} \right),{{\mathbf{\mu }}^*}} \right)\] 变量t的函数 \(f_j^i\left( t \right)\) 和 \(g_j^i\left( t \right)\) 在整个区间\({m_1} < t < {m_2}\)上有定义且连续。确定在区间\({m_1} < t < {m_2}\)上的线性方程组 \[{{\dot y}^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {f_j^i\left( t \right){y^i} + g_k^i\left( t \right)} \] 称为方程组 \[{\dot x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n},{\mu ^1}, \cdots ,{\mu ^l}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 当 \({\mathbf{\mu }} = {{\mathbf{\mu }}^*}\) 时（对参数）的变分方程组。于是，函数组 \[{y^1} = \psi _k^1\left( t \right), \cdots ,{y^n} = \psi _k^n\left( t \right)\] 就是变分方程组在初值条件 \[\psi _k^i\left( {{t_0}} \right) = 0\] 下的解组。
为了证明命题A，将解 \({\mathbf{x}} = {\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)\)带入方程组 \[{\dot x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n},{\mu ^1}, \cdots ,{\mu ^l}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 于是得到恒等式 \[\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)}}{{\partial t}} = {f^i}\left( {t,{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right),{\mathbf{\mu }}} \right)\] 根据定理1，这个恒等式的两边当 \({\mathbf{\mu }} = {{\mathbf{\mu }}^*}\)时都有对 \({{\mu ^k}}\)的偏导数，它对t 在整个区间 \({m_1} < t < {m_2}\)上有定义，而且有 \[\frac{\partial }{{\partial {\mu ^k}}}\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{\mathbf{\mu }}} \right)}}{{\partial {\mu ^k}}}\] 当 \({\mathbf{\mu }} = {{\mathbf{\mu }}^*}\) 时恒等式对 \({{\mu ^k}}\)求导， 由于上述结果，可以看出函数组 \[{y^1} = \psi _k^1\left( t \right), \cdots ,{y^n} = \psi _k^n\left( t \right)\] 构成了方程组 \[{\dot x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n},{\mu ^1}, \cdots ,{\mu ^l}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 的解。 为了得到初始条件，只需要将初始条件 \[{{\varphi ^i}\left( {{t_0},{\mathbf{\mu }}} \right) = x_0^i}\] 对\({{\mu ^k}}\)求导就可以了。命题得证。
命题B 设\({\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right) = \left( {{\varphi ^1}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right), \cdots ,{\varphi ^n}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)} \right)\) 是方程 \[{\mathbf{\dot x}} = {\mathbf{f}}\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\mu }}} \right)\] 以 \({t_0},{{\mathbf{x}}_0}\) 为初始值的不可延拓解，并令 \({m_1} < t < {m_2}\) 为它当固定值 \({{t_0},{\mathbf{\xi }}}\) 时的定义区间。 根据定理2，当 \({{\mathbf{\xi }} = {{\mathbf{x}}_0}}\) 时计算出的偏导数 \[\frac{{\partial {\varphi ^i}\left( {t,{{\mathbf{x}}_0}} \right)}}{{\partial {\xi ^j}}} = \psi _k^i\left( t \right)\] 作为t的函数在整个区间 \({m_1} < t < {m_2}\) 上有定义且连续。 令 \[f_j^i\left( {t,{\mathbf{x}}} \right) = \frac{{\partial {f^i}\left( {t,{\mathbf{x}}} \right)}}{{\partial {x^j}}}\] \[f_j^i\left( t \right) = f_j^i\left( {t,{\mathbf{\varphi }}\left( {t,{{\mathbf{x}}_0}} \right)} \right)\] 变量t的函数 \[f_j^i\left( t \right)\] 在整个区间 \({m_1} < t < {m_2}\) 上有定义且连续。确定在区间 \({m_1} < t < {m_2}\) 上的线性方程组 \[{{\dot y}^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {f_j^i\left( t \right){y^i}} \] 称为方程 \[{x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 当初值条件为 \({t_0},{{\mathbf{x}}_0}\) 时（对初值）的变分方程。于是，函数组 \[{y^1} = \psi _j^1\left( t \right), \cdots ,{y^n} = \psi _j^n\left( {{t_0}} \right) = 0\] 就是方程组 \[{{\dot y}^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {f_j^i\left( t \right){y^i}} \] 在初值条件 \[\psi _j^i\left( {{t_0}} \right) = \delta _j^i\] 下的解组。
函数组 \[{y^1} = \psi _j^1\left( t \right), \cdots ,{y^n} = \psi _j^n\left( {{t_0}} \right) = 0\] 构成了线性方程组 \[{{\dot y}^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {f_j^i\left( t \right){y^i}} \] 的解组的证明与命题1证明一样，将解 \({\mathbf{x}} = {\mathbf{\varphi }}\left( {t,{\mathbf{\xi }}} \right)\) 带入方程组 \[{x^i} = {f^i}\left( {t,{x^1}, \cdots ,{x^n}} \right),i = 1, \cdots ,n\] 而后得到的恒等式对 \({\xi ^j}\) 求导。初始条件 \[\psi _j^i\left( {{t_0}} \right) = \delta _j^i\] 从初始条件 \[{\varphi ^i}\left( {{t_0},{\mathbf{\xi }}} \right) = {\xi ^i}\] 对 \({\xi ^j}\) 求导得到。