计算数学
重根迭代改进
Newton迭代法在处理重根运算时候往往效果不是太好， 有时候收敛速度会非常的慢。为了处理这一问题，往往我们需要对迭代法进行一些改造。
如果采取以下的迭代方法，计算效果会很不错，但是需要计算二次导数。 \[{x_k} = {x_{k - 1}} - \frac{{F({x_{k - 1}})}}{{F'({x_{k - 1}})}}\] 其中 \[F(x) = \frac{{f(x)}}{{f'(x)}}\] 展开上式，便得到迭代公式 \[{x_k} = {x_{k - 1}} - \frac{{f({x_{k - 1}})f'({x_{k - 1}})}}{{{{[f'({x_{k - 1}})]}^2} - f({x_{k - 1}})f''({x_{k - 1}})}}\] 这就是重根时的改进迭代格式。
用重根迭代改进方法计算方程 \[f(x) = {x^4} - 4{x^2} + 4 = 0\] 在\(x=1.5\)附近的根。 下面给出go语言代码。
// multiroot
package main
import (
"fmt"
"math"
)
func main() {
/*------------------------------------------------------
! Author : Song Yezhi
! verison : 2020-5-18 10:29
! -----------------------------------------------------
! Input Parameters :
!
! Output Parameters :
!
------------------------------------------------------*/
var x0 float64 = 1.5
fmt.Printf("newton result: \n")
_, _ = newton(x0)
fmt.Printf("-------------- \n")
fmt.Printf("multiroot iter : \n")
_, _ = multiRoot(x0)
}
func funcX(x float64) float64 {
/*------------------------------------------------------
! Author : Song Yezhi
! verison : 2021.10.04
!
------------------------------------------------------*/
fx := math.Pow(x,4)-4*x*x+4
return fx
}
func dfuncX(x float64) float64 {
/*------------------------------------------------------
! Author : Song Yezhi
! verison : 2020-5-18 10:29
!
------------------------------------------------------*/
df := 4.0*x*x*x - 8.0*x
return df
}
func d2funcX(x float64) float64{
/*------------------------------------------------------
Author : Song Yezhi
verison : 2021-10-4 18:04
go build -gcflags "-N -l"
------------------------------------------------------*/
d2f:=12.0*x*x-8.0
return d2f
}
func newton(x0 float64) (x1, fx float64) {
/*------------------------------------------------------
! Author : Song Yezhi
! verison : 2020-5-18 10:30
! 牛顿法计算方程根
! -----------------------------------------------------
! Input Parameters :
! x0-----初值
! Output Parameters :
!
-------------------------------------------------------*/
var imax int = 20
var tol float64 = 1e-8
for i := 0; i < imax; i++ {
x1 = x0 - funcX(x0)/dfuncX(x0)
fx = funcX(x0)
dfx := dfuncX(x0)
x1 = x0 - fx/dfx
dx := math.Abs(x1 - x0)
if dx < tol {
break
}
x0 = x1
fmt.Printf("i= %4d x= %12.7f f(x)=%12.7f \n", i, x1, fx)
}
return
}
func multiRoot(x0 float64)(x1,fx float64){
/*------------------------------------------------------
Author : Song Yezhi
verison : 2021-10-4 18:08
go build -gcflags "-N -l"
-----------------------------------------------------
Input Parameters :
x0 --- 初值
Output Parameters :
x1----- 根
fx -----函数值
------------------------------------------------------*/
imax:= 200
tol:= 1e-8
var tmp1,tmp2 float64
var dx float64
for i:=0;i < imax; i++ {
tmp1 = funcX(x0)*dfuncX(x0)
tmp2 = dfuncX(x0)*dfuncX(x0)-funcX(x0)*d2funcX(x0)
x1 = x0 -tmp1/tmp2
dx = math.Abs(x1-x0)
if dx < tol {
break
}
x0 = x1
fmt.Printf("i= %4d x= %12.7f f(x)=%12.7f \n", i, x1, fx)
}
return
}