计算数学
Hermit插值
有些实际问题，不仅要求插值多项式在插值点与函数值相同，而且还要求导数相同， 这类问题就是Hermit插值问题。
如果 \(f(x)\)在区间[a,b]上连续可以导，\({x_0},{x_1}, \cdots {x_n} \in [a,b]\)是互异的， 那么存在唯一的多项式 \({H_{2n + 1}}(x)\)满足多项式在这些点上的值与函数 \(f(x)\)的值相等、 多项式在这些点的一阶导数值与函数的一阶导数值相等。
这个多项式可以表示为 \[\begin{array}{l} {H_{2n + 1}}(x) = \sum\limits_{i = 0}^n {f({x_i})[1 - 2(x - {x_i}){l_i}'({x_i})]{l_i}^2(x)} \\ {\rm{ }} + \sum\limits_{i = 0}^n {f'({x_i})(x - {x_i}){l_i}^2(x)} \end{array}\] 其中 \[{l_i}(x) = \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {j = 0}\\ {j \ne i} \end{array}}^n {\frac{{\left( {x - {x_i}} \right)}}{{\left( {{x_i} - {x_j}} \right)}},i = 0,1, \cdots ,n} \] \[{l_i}^\prime \left( {{x_i}} \right) = \sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {j = 0}\\ {j \ne i} \end{array}}^n {\frac{1}{{{x_i} - {x_j}}},} i = 0,1, \cdots ,n\] 这就是Hermite插值。
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.IO;
class chermite
/*--------------------------------------class comment
Version : V1.0
Coded by : syz
Date : 2011-07-16 22:31:09 *星期六*
----------------------------------------------------
Desciption : Hermite插值
*
parameters :
* fout-----------输出文件对象
*
Methods :
* Hermite--------插值方法
* Hermite--------对一点的插值方法
* drive----------驱动函数
*
--------------------------------------------------*/
{
public StreamWriter fout = new StreamWriter("fout.txt");
public VEC hermite(VEC x, VEC y, VEC dy, VEC xx)
/*------------------------------------------ comment
Author : syz
Date : 2011-07-16 22:32:24
---------------------------------------------------
Desciption : Hermite插值方法
*
Post Script :
*
paramtegers :
* x--------样本自变量
* y--------样本应变量
* dy-------样本导数值
* xx-------待插值点
* 返回值--------插值结果（维数同xx）
-------------------------------------------------*/
{
//获取要插值数据向量的维数
int M = xx.dim;
//声明yy为新的向量并分配地址
VEC yy=new VEC(M);
for (int i = 0; i < M; i++)
yy[i] = hermite0(x, y, dy,xx[i]);
return yy;
}
public double hermite0(VEC x, VEC y, VEC dy, double xx)
/*------------------------------------------ comment
Author : syz
Date : 2011-07-16 22:33:41
---------------------------------------------------
Desciption : 对单点的插值方法
*
Post Script :
*
paramtegers :
* x-------样本自变量
* y-------样本应变量
* dy------样本导数值
* xx------要插值点
* 返回值-------插值结果
-------------------------------------------------*/
{
//获取x的维数
int N = x.dim;
//声明L和dL并分配地址
VEC L=new VEC(N);
VEC dL=new VEC(N);
//该段循环求得L
for (int i = 0; i < N ; i++)
{
L[i] = 1.0;
for (int j = 0; j < N; j++)
{
//如果j和i相等，退出当前循环，
//但并不退出循环体
if (j == i)
continue;
L[i] = L[i] * (xx - x[j]) / (x[i] - x[j]);
}
}
//该段循环求得dL
for (int i = 0; i < N; i++)
{
dL[i] = 0;
for (int j = 0; j < N; j++)
{
if (j == i)
continue;
dL[i] = dL[i]+1.0 / (x[i] - x[j]);
}
}
double yy=0;
for (int i = 0; i < N; i++)
yy = yy + y[i] * (1.0 - 2.0* (xx - x[i]) *
dL[i]) * L[i] * L[i]
+ dy[i] * (xx - x[i]) * L[i] * L[i];
//返回计算结果
return yy;
}
}